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Résumé :
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Dossier consacré à la relation entre le plan et l'espace. Distinction de l'espace réel de sa représentation mathématique par l'identification des disparités entre 2D et 3D : polytopes, polygones et polyèdres, commutativité de la composition des rotations dans le plan et non-commutativité dans l’espace, solides platoniciens, réseaux de Bravais et impossibilité de la symétrie d’ordre 5 ; problèmes de Hilbert et équidécomposabilité des polygones, rôle de l'invariant de Dehn ; mesure des dimensions et paradoxe de Banach et Tarski, notion de moyennabilité de Janos Von Neumann ; mouvement brownien, théorème de Polya, théorème de Poincaré-Bendixson sur les équations différentielles de premier ordre, théorème des quatre couleurs ; encadrés : figures permettant le pavage de l'espace selon Aristote et sa remise en cause par Regiomontanus (Johannes Müller von Könisberg) ; extrapolation de propriétés lors du passage de la dimension 2 à la dimension 3 (équation d'une droite, formule d'Euler-Poincaré, quadruplets pythagoriciens) ; ambimorphies de Tango Tanguy ; origine et définition des termes conique, ellipse, parabole, hyperbole, foyer. Démonstration de la déduction des dimensions d’un édifice à partir de sa vue en perspective : exemple de la maison du directeur du Bauhaus. Histoire de la géométrie projective : définition, origine du mot "projective", fondateurs de la perspective (Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti et la perspective centrale ou projection centrale, Dürer et le point de fuite ou point à l’infini), théorème de Desargues (droite à l’infini et plan projectif). Approche comparée de la géométrie projective comme théorisation des notions d’horizon et de perspective propres à la vision et à la photographie : géométrie euclidienne (isométrie, homothétie), géométrie affine (groupes et propriétés affines, Girard Desargues et Poncelet), géométrie projective et théorème de Pappus, conique et conique dégénérée, hexagramme mystique (théorème de Pascal).
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